Exercice 6, § 16

Soit L une extension galoisienne finie du corps commutatif K, de groupe de Galois G. Soient $V,V'$ des K-espaces vectoriels, $w$ (resp. $w'$) un tenseur de type $(p, q)$ sur V (resp. $V'$). On appelle L-isomorphisme de $(V, w)$ sur $(V', w')$ un isomorphisme L-linéaire $u: V_{(L)}\rightarrow V'_{(L)}$ tel que $u^{\otimes p}\otimes (^tu^{-1})^{\otimes q}$ applique l’image de $w$ sur celle de $w'$. On désigne par Aut$_L(V, w)$ le groupe des L-automorphismes de $(V, w)$, sur lequel G agit par la règle $^{\sigma}\varphi = (1_V\otimes \sigma )\circ \varphi \circ (1_V\otimes \sigma )^{-1}$.

a) Soient $u$ un L-isomorphisme de $(V, w)$ sur $(V', w')$ et $\sigma$ un élément de G ; l’application $^{\sigma}u= (1_{V'}\otimes \sigma )\circ u\circ (1_V\otimes \sigma )^{-1}$ est un L-isomorphisme de $(V, w)$ sur $(V', w')$, de sorte que $c(\sigma ) =u^{-1}\circ^{\sigma}u$ est un élément de Aut$_L(V, w)$. Prouver que l’application $c: G\rightarrow$ Aut$_L(V, w)$ appartient à $Z^1(G$, Aut$_L(V, w))$, et que sa classe $\theta (V', w')$ dans $H^1(G$, Aut$_L(V, w))$ ne dépend pas du choix de $u$.

b) Prouver que l’application $(V', w')\rightarrow \theta (V', w')$ définit une bijection de l’ensemble des classes de K-isomorphisme de couples $(V', w')$ L-isomorphes à $(V, w)$ sur l’ensemble $H^1(G$, Aut$_L(V, w))$ (étant donné un élément $c$ de $Z^1(G$,Aut$_L(V, w)$), déduire de l’exerc. 5 d) un L-automorphisme $f$ de $V_{(L)}$ tel que $c(\sigma ) =f^{-1}\circ^{\sigma}f$; démontrer que l’image $w'$ de $w$ par l’automorphisme déduit de $f$ est rationnelle sur K et considérer le couple $(V, w'))$.

$*$c) Exemples : l’ensemble $H^1(G,\mathbf{S}\mathbf{p}_{2n}(L))$ est réduit à un élément ; si Q est une forme quadratique sur K, l’ensemble $H^1(G,\mathbf{O}(Q_{(L)}))$ s’identifie à l’ensemble des classes d’équivalence de formes quadratiques sur K qui sont équivalentes à Q sur $L.*$

d) Soit A une K-algèbre, M le groupe d’automorphismes de la L-algèbre $A_{(L)}$, muni de l’action de G définie plus haut. La construction de b) définit une bijection entre l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples $(B, u)$, où B est une K-algèbre et $u$ un isomorphisme de $B_{(L)}$ sur $A_{(L)}$, sur l’ensemble $Z^1(G,M)$; la bijection réciproque associe à un élément $c$ de $Z^1(G,M)$ la sous-K-algèbre de $A_{(L)}$ formée des éléments $a$ satisfaisant à $c(\sigma )(\sigma (a)) =a$ pour tout $\sigma \in G$.