Bài tập 7, § 16

Cho L là một mở rộng của K. Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, ký hiệu bởi $\mathscr{A}_n(L/K)$ tập hợp các lớp đẳng cấu của các K-đại số đơn tâm bậc $n^2$ được tách bởi L.

a) Chứng minh rằng hạt nhân Br(L$/K$) của đồng cấu chính tắc Br(K) $\rightarrow$ Br(L) đẳng cấu với giới hạn trực tiếp của các tập hợp $\mathscr{A}_n(L/K)$; hãy chỉ rõ một hệ ánh xạ. b) Từ bây giờ giả sử rằng L là một mở rộng Galois hữu hạn của K, với nhóm Galois G. Suy ra một song ánh $\theta_n:\mathscr{A}_n(L/K)\rightarrow H^1(G,\mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L))$ từ Bài tập 6.

c) Ký hiệu bởi $\partial_n: H^1(G,\mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L))\rightarrow H^2(G,L^*)$ ánh xạ suy ra từ dãy khớp $1\rightarrow L^*\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}_n(L)\rightarrow \mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L)\rightarrow 1$ (Bài tập 5, c)) và bởi $\delta_n:\mathscr{A}_n(L/K)\rightarrow H^2(G,L^*)$ ánh xạ $\partial_n\circ \theta_n$. Nếu $A\in \mathscr{A}_n(L/K)$, thì ta có $\delta_n(A) = 0$ khi và chỉ khi A là một đại số ma trận trên K; nếu $A\in \mathscr{A}_p(L/K)$ và $B\in \mathscr{A}_q(L/K)$, thì ta có $\delta_{pq}(A\otimes_KB) =\delta_p(A) +\delta_q(B)$. Suy ra một đồng cấu nhóm đơn ánh $\delta_{L/K}:$ Br(L$/K$)$\rightarrow H^2(G,L^*)$ bằng cách chuyển qua giới hạn trực tiếp. d) Chứng minh rằng $\partial_n$ là toàn ánh với $n=$ Card(G). (Cho $c: G\times G\rightarrow L^*$ là một phần tử của $Z^2(G,L^*)$. Với mỗi $\sigma \in G$, xét tự đồng cấu $u(\sigma )$ của $L^G$ biến $e_{\tau}$ thành $c(\sigma , \tau )e_{\sigma \tau}$ với mọi $\tau \in G$, và xác định $u(\sigma )^{\sigma}u(\tau )u(\sigma \tau )^{-1}.$)

e) So sánh $\delta_{L/K}$ và $\Phi_{L/K}$.

f ) Chứng minh rằng nhóm Br(K) có thể được đồng nhất với giới hạn của hệ trực tiếp các nhóm $(H^2$(Gal $(L/K),L^*$)) đối với tập hợp (có thứ tự theo bao hàm) các mở rộng Galois hữu hạn của K được chứa trong một bao đóng đại số cố định của K, trong đó các đồng cấu giữa các nhóm này là các đồng cấu thổi phồng (đơn ánh). g) Cho F là một mở rộng của K được chứa trong L và Γ là nhóm con của G để F bất biến. Chứng minh rằng biểu đồ sau là giao hoán:

Br(L$/K$)$^{r_{F/K}}$ // Br(F$/L$)

$\delta_{L/K}\delta_{F/L}$

$H^2(G,L^*)^{Res^2}/$/ $H^2(\Gamma ,L^*)$.

Suy ra một đẳng cấu chính tắc từ Br(F$/K$) đến hạt nhân của đồng cấu Res$^2: H^2(G,L^*)\rightarrow H^2(\Gamma ,L^*)$.