Exercice 7, § 16

Soit L une extension de K. Pour tout entier $n\geqslant 1$, on désigne par $\mathscr{A}_n(L/K)$ l’ensemble des classes d’isomorphisme de K-algèbres centrales et simples, de degré $n^2$, déployées par L.

a) Démontrer que le noyau Br(L$/K$) de l’homomorphisme canonique Br(K) $\rightarrow$ Br(L) est isomorphe à la limite inductive des ensembles $\mathscr{A}_n(L/K)$, pour un système d’applications que l’on précisera.

b) On suppose désormais que L est une extension galoisienne finie de K, de groupe de Galois G. Déduire de l’exerc. 6 une bijection $\theta_n:\mathscr{A}_n(L/K)\rightarrow H^1(G,\mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L))$.

c) On note $\partial_n: H^1(G,\mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L))\rightarrow H^2(G,L^*)$ l’application déduite de la suite exacte $1\rightarrow L^*\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}_n(L)\rightarrow \mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L)\rightarrow 1$ (exerc. 5 c)), et $\delta_n:\mathscr{A}_n(L/K)\rightarrow H^2(G,L^*)$ l’application $\partial_n\circ \theta_n$. Si $A\in \mathscr{A}_n(L/K)$, on a $\delta_n(A) = 0$ si et seulement si A est une algèbre de matrices sur K ; si $A\in \mathscr{A}_p(L/K)$ et $B\in \mathscr{A}_q(L/K)$, on a $\delta_{pq}(A\otimes_KB) =\delta_p(A) +\delta_q(B)$. En déduire par passage à la limite inductive un homomorphisme injectif de groupes $\delta_{L/K}:$ Br(L$/K$)$\rightarrow H^2(G,L^*)$.

d) Prouver que $\partial_n$ est surjective pour $n=$ Card(G) (soit $c: G\times G\rightarrow L^*$ un élément de $Z^2(G,L^*)$; pour tout $\sigma \in G$, considérer l’endomorphisme $u(\sigma )$ de $L^G$ qui applique $e_{\tau}$ sur $c(\sigma , \tau )e_{\sigma \tau}$ pour tout $\tau \in G$, et calculer $u(\sigma )^{\sigma}u(\tau )u(\sigma \tau )^{-1}$).

e) Comparer $\delta_{L/K}$ et $\Phi_{L/K}$.

f) Démontrer que le groupe Br(K) s’identifie à la limite du système inductif de groupes (H^2(Gal(L/K), L^*)) relativ à l’ensemble (ordonné par inclusion) des extensions galoisiennes de degré fini de K contenues dans une clôture algébrique fixée de K, les homomorphismes entre ces groupes étant les homomorphismes (injectifs) d’inflation.

g) Soit F une extension de K contenue dans L, Γ le sous-groupe de G laissant invariant F. Démontrer que le diagramme

est commutatif. En déduire un isomorphisme canonique de Br(F/K) sur le noyau de l’homomorphisme Res^2 : H^2(G, L^*) → H^2(Γ, L^*).