Bài tập 4, § 17

Cho D là một trường, $\sigma$ là một tự đẳng cấu của D, A là vành $D[X]_{\sigma}$ (VIII, p. 11)$,n$ là một số nguyên $\geqslant 2$, và $a$ là một phần tử khác không của D. Ký hiệu phần tử $X^n-a$ của A là $f$. a) Iđêan $Af$ là hai phía khi và chỉ khi ta có $\sigma (a) =a$ và $\sigma^n(x) =axa^{-1}$ với mọi $x\in D$. b) Giả sử rằng nhóm $\mu_n$ các căn bậc $n$ của đơn vị được chứa trong tâm của D là xyclic cấp $n$ và bất biến bởi $\sigma$. Cho $g\in A$ là một đa thức đơn khởi bất khả quy (VIII, p. 22, Bài tập 27) chia $f$ ở bên phải. Chứng minh rằng bậc $d$ của $g$ chia $n$ và rằng $f$ là tích của $n/d$ đa thức bậc $d$. (Gọi $h$ là đa thức đơn khởi sao cho $Ah=\bigcap_{\zeta\in\mu_n}Ag_{\zeta}$, trong đó $g_{\zeta}(X) =g(\zeta X)$. Nhận xét rằng nhất thiết ta có $h(\zeta X) =h(X)$ với mọi $\zeta \in \mu_n$, và suy ra rằng $h=f$. Sau đó, áp dụng loc. cit., b) bằng cách xây dựng, với $1\leqslant i\leqslant n/d$, một phần tử $\zeta_i$ của $\mu_n$ và một đa thức $h_i$ bậc $id$ sao cho $Ag_{\zeta_1}\cap \cdots \cap Ag_{\zeta_i}= Ah_i$.)

Nếu hơn nữa, iđêan $Af$ là hai phía, thì vành $A/Af$ là nửa đơn, và các thành phần đơn của nó đều có cùng độ dài (nhận xét rằng mọi $(A/Af$)-môđun đơn đều đẳng cấu với một trong các môđun $A/Ag_{\zeta})$.

c) Từ nay giả sử rằng các giả thiết của b) được thỏa mãn, rằng iđêan $Af$ là hai phía, và rằng $n$ là một số nguyên tố. Suy ra từ b) rằng ta ở trong một trong các trường hợp sau:

(i) Tồn tại một $b\in D$ sao cho $a=b^n$ và $\sigma$ là tự đẳng cấu trong liên kết với $b$. Vành $C = A/Af$ đẳng cấu với vành tích $D^n$.

(ii) Điều kiện của (i) không được thỏa mãn, nhưng tồn tại một $c\in D$ sao cho $a=\sigma^{n-1}(c)\sigma^{n-2}(c). . . \sigma (c)c$. Vành C là đơn có độ dài $n$.

(iii) Không có phần tử $c$ nào của D sao cho $a=\sigma^{n-1}(c)\sigma^{n-2}(c)\cdots \sigma (c)c$. Vành C là một trường.

Trong trường hợp D là giao hoán, thu được lại các kết quả của Bài tập 11 của VIII, p. 330. Nếu hơn nữa, $n= 2$, thì C là một đại số quaternion trên trường con K của D bất biến dưới tác động của $\sigma$.

d) Chứng minh rằng tồn tại một tự đẳng cấu $\tau$ của C có cấp $n$ mà trường con các bất biến của nó bằng D. Trong các trường hợp (ii) và (iii) ở trên, D là một trường con Galois của C (Bài tập 16 của VIII, p. 274).

e) Giả sử rằng $\sigma$ là tự đẳng cấu trong liên kết với một phần tử $d$ của D. Chứng minh rằng ta có $a=d^nz$, trong đó $z$ thuộc tâm Z của C, và vành C là đẳng cấu với tích tenxơ $D\otimes_ZZ[X]/(X^n-z)$.

f ) Giả sử rằng $\sigma$ không là một tự đẳng cấu trong. Chứng minh rằng tâm của C là trường con của Z gồm các phần tử bất biến dưới $\sigma$.