Exercice 4, § 17

Soient D un corps, $\sigma$ un automorphisme de D, A l’anneau $D[X]_{\sigma}$ (VIII, p. 10)$,n$ un entier $\geqslant 2$ et $a$ un élément non nul de D. On note $f$ l’élément $X^n-a$ de A.

a) Pour que l’idéal $Af$ soit bilatère, il faut et il suffit qu’on ait $\sigma (a) =a$ et $\sigma^n(x) =$ $axa^{-1}$ pour tout $x\in D$.

b) On suppose que le groupe $\mu_n$ des racines $n$-èmes de l’unité contenues dans le centre de D est cyclique d’ordre $n$ et fixe par $\sigma$. Soit $g\in A$ un polynôme unitaire irréductible (VIII, p. 21, exerc. 27) divisant $f$ à droite ; prouver que le degré $d$ de $g$ divise $n$ et que $f$ est produit de $n/d$ polynômes de degré $d$ (soit $h$ le polynôme unitaire tel que $Ah=\bigcap_{\zeta\in\mu_n}Ag_{\zeta}$, avec $g_{\zeta}(X) =g(\zeta X)$; remarquer qu’on a nécessairement $h(\zeta X) =h(X)$ pour tout $\zeta \in \mu_n$, et en déduire $h=f$. Appliquer ensuite loc. cit. b), en construisant, pour $1\leqslant i\leqslant n/d$, un élément $\zeta_i$ de $\mu_n$ et un polynôme $h_i$ de degré $id$ tel que $Ag_{\zeta_1}\cap \cdots \cap Ag_{\zeta_i}= Ah_i)$.

Si de plus l’idéal $Af$ est bilatère, l’anneau $A/Af$ est semi-simple, et ses composants simples ont même longueur (observer que tout $(A/Af)$-module simple est isomorphe à l’un des modules $A/Ag_{\zeta}$).

c) On suppose désormais que les hypothèses de b) sont satisfaites, que l’idéal $Af$ est bilatère et que $n$ est premier. Déduire de b) qu’on est dans l’une des situations suivantes :

(i) Il existe $b\in D$ tel que $a=b^n$ et que $\sigma$ soit l’automorphisme intérieur associé à $b$; l’anneau $C = A/Af$ est isomorphe à l’anneau produit $D^n$;

(ii) La condition de (i) n’est pas vérifiée, mais il existe $c\in$ D tel que $a$ = $\sigma^{n-1}(c)\sigma^{n-2}(c). . . \sigma (c)c; C$ est un anneau simple de longueur $n$;

(iii) Il n’existe aucun élément $c$ de D tel que $a=\sigma^{n-1}(c)\sigma^{n-2}(c). . . \sigma (c)c; C$ est un corps.

Dans le cas où D est commutatif, retrouver les résultats de l’exerc. 11 de VIII, p. 325. Si de plus $n= 2, C$ est une algèbre de quaternions sur le sous-corps K de D invariant par $\sigma$.

d) Démontrer qu’il existe un automorphisme $\tau$ de C d’ordre $n$ dont le sous-corps des invariants est égal à D. Dans les cas (ii) et (iii) ci-dessus, D est un sous-corps galoisien de C (exerc. 16 de VIII, p. 270).

e) On suppose que $\sigma$ est l’automorphisme intérieur associé à un élément $d$ de D. Prouver qu’on a $a=d^nz$, où $z$ appartient au centre Z de C, et que l’anneau C est isomorphe au produit tensoriel $D\otimes_ZZ[X]/(X^n-z)$.

f ) On suppose que $\sigma$ n’est pas intérieur. Démontrer que le centre de C est le sous-corps de Z formé des éléments invariants par $\sigma$.