Bài tập 5, § 17

Cho $K_0$ là trường phân thức hữu tỉ $\mathbf{Q}(X)$. Cho K là mở rộng bậc hai

$K_0(\rho )$, trong đó $\rho$ là một nghiệm bậc ba nguyên thủy của đơn vị, D là mở rộng tuần hoàn $K(^{^3}X)$ của K, và $\sigma$ là một phần tử sinh của nhóm Galois của D trên K. Xét đại số C được định nghĩa như trong Bài tập 4, với $n= 3$ và $a= 2$.

a) Chứng minh rằng C là một trường có tâm K, bậc 9 trên K. (Để thấy rằng D không có phần tử nào có chuẩn bằng 2, rút gọn về việc chứng minh rằng không thể có bất kỳ hệ thức nào dạng $2F^3= P^3$+XQ$^3+X^2R^3$ +3XPQR, trong đó $F,P,Q,R$ là các đa thức đôi một nguyên tố cùng nhau trong $\mathbf{Q}(\rho )[X]$. Để làm điều này, hãy xét các hạng tử bậc thấp nhất của các đa thức này.) b) Chứng minh rằng không tồn tại tự đẳng cấu nào của C mở rộng tự đẳng cấu duy nhất của K trên $K_0$ khác với đồng nhất (rút gọn về trường hợp khi một tự đẳng cấu như thế bảo toàn D). Suy ra rằng $K_0$ không phải là một trường con Galois của C (VIII, p. 274, Bài tập 16) và rằng không tồn tại một $K_0$-tự đẳng cấu nào của C có cấp 2.

c) Cho $\xi$ là một phần tử của D sao cho $\xi^3= X$, và cho $\eta$ là một phần tử của C sao cho $\eta^3= 2$ và $\eta \xi =\rho \xi \eta$; đặt $\zeta =\xi +\eta +\eta^2$. Chứng minh rằng $K(\zeta )$ là một trường con giao hoán cực đại của D và không là Galois trên K, trong khi các trường con giao hoán cực đại $K(\xi )$ và $K(\eta )$ là Galois trên K (tính $\zeta^3$).