Exercice 5, § 17

Soient $K_0$ le corps de fractions rationnelles $\mathbf{Q}$(X), K l’extension quadratique $K\surd$ 0$(\rho )$, où $\rho$ est une racine cubique primitive de l’unité, D l’extension cyclique $K(^3X)$ de $K,\sigma$ un générateur du groupe de Galois de D sur K. On considère l’algèbre C définie par la méthode de l’exerc. 4, avec $n= 3$ et $a= 2$.

a) Prouver que C est un corps de centre K, de degré 9 sur K (pour voir que D ne contient pas d’élément de norme 2, on se ramènera à prouver qu’il ne peut y avoir de relation de la forme $2F^3= P^3+$ XQ$^3+ X^2R^3+$ 3XPQR, où $F,P,Q,R$ sont des polynômes de $\mathbf{Q}(\rho )[X]$, étrangers dans leur ensemble ; considérer pour cela les termes de plus bas degré de ces polynômes).

b) Démontrer qu’il n’existe aucun automorphisme de C prolongeant l’unique $K_0$-automorphisme de K distinct de l’identité (se ramener au cas où un tel automorphisme préserverait D). En déduire que $K_0$ n’est pas un sous-corps galoisien de C (VIII, p. 270, exerc. 16), et qu’il n’existe aucun $K_0$-automorphisme de C qui soit d’ordre 2.

c) Soient $\xi$ un élément de D tel que $\xi^3= X,\eta$ un élément de C tel que $\eta^3= 2$ et $\eta \xi =\rho \xi \eta$; on pose $\zeta =\xi +\eta +\eta^2$. Prouver que $K(\zeta )$ est un sous-corps commutatif maximal de D, non galoisien sur K, alors que les sous-corps commutatifs maximaux $K(\xi )$ et $K(\eta )$ sont galoisiens sur K (on pourra calculer $\zeta^3$).