Bài tập 1, § 18

Cho D là một trường.

a) Cho E là một trường con thực sự của D mà nhóm nhân $E^*$ có chỉ số hữu hạn trong $D^*$. Chứng minh rằng D là hữu hạn (đối với một dãy $(a_n)$ các phần tử phân biệt của E và một phần tử $x$ của D - E, hãy xét các lớp modulo $E^*$ của các phần tử $x+a_n$).

b) Chứng minh rằng một phần tử của D chỉ có hữu hạn phần tử liên hợp thì thuộc tâm Z của D (áp dụng a) cho hoán tập của phần tử này trong D, là một trường). c) Suy ra rằng một đa thức trong Z[X] có một nghiệm trong D - Z thì có vô hạn nghiệm trong D - Z.