Exercice 1, § 18

Soit D un corps.

a) Soit E un sous-corps distinct de D, dont le groupe multiplicatif $E^*$ est d’indice fini dans $D^*$. Prouver que D est fini (si $(a_n)$ est une suite d’éléments distincts de E et $x$ un élément de D - E, considérer les classes mod. $E^*$ des éléments $x+a_n$).

b) Démontrer qu’un élément de D qui n’a qu’un nombre fini de conjugués appartient au centre Z de D (appliquer a) au corps commutant de cet élément dans D).

c) En déduire qu’un polynôme de Z[X] qui a une racine dans D - Z a une infinité de racines dans D - Z.