Bài tập 2, § 18

Cho A là một đại số trên K và $m$ là một số nguyên. Giả sử mọi phần tử của A đều đại số bậc $\leqslant m$ trên K.

a) Chứng minh rằng nếu A là một vành nguyên thủy, thì tồn tại một số nguyên $r\leqslant m$ và một trường D mà mọi phần tử đều có bậc $\leqslant m$ trên K sao cho A đẳng cấu với đại số ma trận $\mathbf{M}_r(D)$. (Nếu A không đơn, thì suy ra từ định lý mật độ rằng với mọi số nguyên $n$, tồn tại một đại số con $A_n$ của A và một đồng cấu toàn ánh $A_n\rightarrow \mathbf{M}_n(D)$. Nhận thấy rằng đại số $\mathbf{M}_n(D)$ chứa các phần tử X sao cho $X^{n-1}\not= 0$ và $X^n= 0.$)

b) Giả sử rằng trường K là vô hạn. Chứng minh rằng đại số $A/\mathfrak{R}(A)$ là nửa đơn và có nhiều nhất $m$ thành phần đơn (hãy lưu ý rằng đại số $K^n$ chứa các phần tử bậc $n$ trên K; suy ra rằng A có nhiều nhất $m$ iđêan cực đại hai phía, và kết luận bằng cách sử dụng a)). Chứng minh rằng nếu hơn nữa K là hoàn hảo, thì $A/\mathfrak{R}(A)$ có hạng hữu hạn trên K.