Exercice 2, § 18

Soient A une K-algèbre et $m$ un entier. On suppose que tout élément de A est algébrique de degré $\leqslant m$ sur K.

a) Si A est un anneau primitif, démontrer qu’il existe un entier $r\leqslant m$ et un corps D dont tous les éléments sont de degré $\leqslant m$ sur K tel que A soit isomorphe à l’algèbre de matrices $\mathbf{M}_r(D)$. (Si A n’est pas simple, déduire du théorème de densité qu’il existe, pour tout entier $n$, une sous-algèbre $A_n$ de A et un homomorphisme surjectif $A_n\rightarrow \mathbf{M}_n(D)$; observer que l’algèbre $\mathbf{M}_n(D)$ contient des éléments X tels que $X^{n-1}\not= 0$ et $X^n= 0.$)

b) On suppose que le corps K est infini. Prouver que l’algèbre $A/\mathfrak{R}(A)$ est semi-simple et admet au plus $m$ composants simples (observer que l’algèbre $K^n$ contient des éléments de degré $n$ sur K ; en déduire que A admet au plus $m$ idéaux bilatères maximaux, et conclure à l’aide de a)). Si de plus K est parfait, $A/\mathfrak{R}(A)$ est de rang fini sur K.