Bài tập 3, § 18

Cho K là một trường giao hoán. Ta nói rằng một đại số trên K A là đại số nếu mọi phần tử của nó đều đại số trên K. Mọi đại số hạng hữu hạn đều là đại số; mọi đại số con và đại số thương của một đại số đều là đại số. Căn của một đại số trên K đại số là một iđêan nil (VIII, p. 166, Bài tập 5).

a) Chứng minh rằng một đại số là một vành giả chính quy (VIII, p. 178, Bài tập 4; nhận thấy rằng với mọi $x\in A$, tồn tại một phần tử $y\in K[x]$ và một số nguyên $k$ sao cho $x^k=x^{k+1}y$).

b) Cho A là một đại số trên K đại số không có phần tử lũy linh nào khác 0. Chứng minh rằng A đẳng cấu với một đại số con của một tích các trường. (Nhận thấy rằng mọi đại số thương của A đều có cùng các tính chất ấy. Chứng minh rằng nếu A là nguyên thủy thì nó là một trường, bằng cách lập luận như trong Bài tập 2, a). Trong trường hợp tổng quát, dùng Bài tập 12 của VIII, p. 168.)