Exercice 3, § 18

Soit K un corps commutatif. On dit qu’une K-algèbre A est algébrique si tous ses éléments sont algébriques sur K. Toute algèbre de rang fini est algébrique ; toute sous-algèbre et toute algèbre quotient d’une algèbre algébrique sont algébriques. Le radical d’une K-algèbre algébrique est un nilidéal (VIII, p. 161, exerc. 5).

a) Prouver qu’une algèbre algébrique est un anneau pseudo-régulier (VIII, p. 174, exerc. 4; remarquer que pour tout $x\in A$, il existe un élément $y\in K[x]$ et un entier $k$ tel que $x^k=x^{k+1}y$).

b) Soit A une K-algèbre algébrique sans élément nilpotent autre que 0 ; prouver que A est isomorphe à une sous-algèbre d’un produit de corps. (Remarquer que toute algèbre quotient de A possède les mêmes propriétés. Si A est primitive, prouver que c’est un corps en raisonnant comme dans l’exerc. 2 a) ; dans le cas général, utiliser l’exerc. 12 de VIII, p. 163.)