Bài tập 5, § 19

Giả sử đặc số của K là $\not= 2$. Cho F là một đại số Cayley thay thế K không nhất thiết kết hợp (III, Phụ lục, No. 2); ta ký hiệu phép liên hợp của nó bởi $s:x\mapsto \overline{x}$ và vết Cayley cùng chuẩn Cayley của nó lần lượt bởi T và N. Ta nói rằng một đại số con E của F là không suy biến nếu với mọi phần tử khác không $x$ của E, tồn tại một $x'\in E$ sao cho $T(xx')\not= 0$.

a) Chứng minh đẳng thức $x(zy) +z(xy) = T(xz)y= (yx)\overline{z}+ (yz)\overline{x}$ với $x, y, z$ trong F (rút gọn về trường hợp $z=x$).

b) Cho E là một đại số con của F chứa 1, phân biệt với F, ổn định dưới $s$, và hữu hạn chiều trên K; giả sử rằng E và F đều không suy biến. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử khác không $j$ của F sao cho $T(xj) = 0$ với mọi $x\in E$ và $N(j)\not= 0$. Ta có $\overline{j}=-j,xj=-jx$ với mọi $x\in E$, và $j^2=\gamma 1_F$ với $\gamma =-N(j)$.

c) Cho $x$ và $y$ là các phần tử của E. Chứng minh các công thức $x(yj) = (yx)j= (yj)\overline{x}$ và $(xj)(yj) =\gamma yx$ (dùng a) và Bài tập 2 của III, phụ lục, p. 654).

d) Chứng minh rằng $E + Ej$ là một đại số con không suy biến của F, ổn định theo $s$, và có chiều 2 dim(E) có thể được đồng nhất với mở rộng Cayley của $(E, s)$ được xác định bởi $\gamma$. Suy ra từ Mệnh đề 3 của III, Phụ lục, No. 2, p. 614 rằng E có tính kết hợp.

e) Suy ra từ trên rằng các đại số Cayley K thay thế không suy biến là các đại số sau:

(i) đại số trên K K được trang bị phép đối hợp đồng nhất

(ii) các đại số bậc hai trên K kiểu $(\alpha ,0)$ với $\alpha \not= 0$

(iii) các đại số quaternion trên K kiểu $(\alpha ,0, \gamma )$ với $\alpha \gamma \not= 0$

(iv) các đại số octonion trên K kiểu $(\alpha ,0, \gamma , \delta )$ với $\alpha \gamma \delta \not= 0$.

(Xây dựng một dãy các mở rộng Cayley $K\subset E_1\subset E_2\subset \cdots \subset F$, và nhận xét rằng một đại số octonion không có tính kết hợp.)

f ) Chứng minh rằng một đại số Cayley K thay thế mà mọi phần tử khác không đều khả nghịch là một trong các kiểu nói trên.

g) Cho R là một trường có thứ tự cực đại. Chứng minh rằng một đại số Cayley R thay thế mà mọi phần tử khác không đều khả nghịch là đẳng cấu với R, C, H, hoặc O (VIII, p. 368, Nhận xét 1).