Exercice 5, § 19

On suppose que la caractéristique de K est $\not= 2$. Soit F une K-algèbre cayleyenne alternative non nécessairement associative (III, App., n$^o2$); on note $s:x\rightarrow \overline{x}$ sa conjugaison, T et N sa trace et sa norme cayleyennes. On dit qu’une sous-algèbre E de F est non dégénérée si pour tout élément non nul $x$ de E, il existe $x'\in E$ tel que $T(xx')\not= 0$.

a) Démontrer l’égalité $x(zy) +z(xy) = T(xz)y= (yx)\overline{z}+ (yz)\overline{x}$ pour $x, y, z$ dans F (se ramener au cas $z=x$).

b) Soit E une sous-algèbre de F, contenant 1, distincte de F, stable par $s$ et de dimension finie sur K ; on suppose que E et F sont non dégénérées. Démontrer qu’il existe un élément non nul $j$ de F tel que $T(xj) = 0$ pour tout $x\in E$ et $N(j)\not= 0$. On a $\overline{j}=-j$, $xj=-jx$ pour tout $x\in E$, et $j^2=\gamma 1_F$ avec $\gamma =-N(j)$.

c) Soient $x, y$ des éléments de E. Démontrer les formules $x(yj) = (yx)j= (yj)\overline{x}$ et $(xj)(yj) =\gamma yx$ (utiliser a) et l’exerc. 2 de III, p. 203).

d) Prouver que $E + Ej$ est une sous-algèbre de F, stable par $s$, non dégénérée, de dimension 2 dim(E), qui s’identifie à l’extension cayleyenne de $(E, s)$ définie par $\gamma$. Déduire de la prop. 3 de III, p. 175 que E est associative.

e) Déduire de ce qui précède que les K-algèbres cayleyennes alternatives non dégénérées sont les algèbres suivantes :

(i) la K-algèbre K munie de l’involution identique ;

(ii) les algèbres quadratiques sur K de type $(\alpha ,0)$, avec $\alpha \not= 0$;

(iii) les algèbres de quaternions sur K de type $(\alpha ,0, \gamma )$ avec $\alpha \gamma \not= 0$;

(iv) les algèbres d’octonions sur K de type $(\alpha ,0, \gamma , \delta )$ avec $\alpha \gamma \delta \not= 0$.

(Construire une suite d’extensions cayleyennes $K\subset E_1\subset E_2\subset \cdots \subset F$, et observer qu’une algèbre d’octonions n’est pas associative.)

f ) Démontrer qu’une K-algèbre cayleyenne alternative dont tout élément non nul est inversible est de l’un des types précédents.

g) Soit R un corps ordonné maximal. Prouver qu’une R-algèbre cayleyenne alternative dont tout élément non nul est inversible est isomorphe à R, C, H ou O (VIII, p. 359, remarque 1).