Bài tập 7, § 19

Giả sử đặc số của K khác 2.

a) Cho D là một trường chứa K và F là đại số quaternion trên K kiểu $(\alpha ,0, \gamma )$. Chứng minh rằng $D\otimes_KF$ không là một trường nếu và chỉ nếu tồn tại hai phần tử giao hoán $x$ và $y$ trong D sao cho $x^2-\alpha y^2=\gamma$ (áp dụng Bài tập 4, c) của VIII, p. 351, trước hết cho $D\otimes_KK(i)$ rồi đến $D\otimes_KF)$).

b) Cho $F'$ là một đại số quaternion khác trên K. Khi đó $F\otimes_KF'$ là một trường khi và chỉ khi nghiệm duy nhất của $N_F(q) = N_{F'}(q')$, trong đó $q\in F$ và $q'\in F'$ là các quaternion thuần (III, §2, p. 618, Bài tập 3), là $q=q'= 0$. (Rút gọn về trường hợp khi F là một trường và dùng tiêu chuẩn của a).) Chú ý rằng nếu cả $x$ lẫn $y$ đều không thuộc K, thì $y$ thuộc $K(x)$, và viết $x=s+q$, trong đó $x\in K$ và $q$ là một quaternion thuần.)