Exercice 7, § 19

On suppose la caractéristique de K différente de 2.

a) Soient D un corps contenant K et F l’algèbre de quaternions sur K de type $(\alpha ,0, \gamma )$. Prouver que pour que $D\otimes_KF$ ne soit pas un corps, il faut et il suffit qu’il existe dans D deux éléments permutables $x, y$ tels que $x^2-\alpha y^2=\gamma$ (appliquer l’exerc. 4, c) de VIII, p. 344 d’abord à $D\otimes_KK(i)$, puis à $D\otimes_KF)$.

b) Soit $F'$ une autre algèbre de quaternions sur K. Pour que $F\otimes_KF'$ soit un corps, il faut et il suffit que l’équation $N_F(q) = N_{F'}(q')$, où $q\in F$ et $q'\in F'$ sont des quaternions purs (III, p. 178, exerc. 3), ait pour seule solution $q=q'= 0$ (se ramener au cas où F est un corps et utiliser le critère de a) ; si ni $x$ ni $y$ n’appartiennent à K, remarquer que $y$ appartient à $K(x)$ et écrire $x=s+q$, où $x\in K$ et $q$ est un quaternion pur).