Bài tập 8, § 19

Cho $K_0$ là một trường giao hoán có đặc số khác 2, và cho $(X_n)_{n\geqslant 1}$ và $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ là hai dãy vô hạn các biến và K là trường phân thức hữu tỉ $K_0((X_n),(Y_n))$. Với mọi $n\geqslant 1$, ký hiệu bởi $F_n$ trường quaternion trên K kiểu $(X_n,0,Y_n)$.

a) Chứng minh rằng tích tenxơ $F =\bigotimes_nF_n$ (III, §4, No. 5, p. 470) là một trường có tâm là K sao cho mọi trường con sinh bởi một tập con hữu hạn đều có hạng hữu hạn trên K (dùng Bài tập 7, a)).

b) Chứng minh rằng nếu $u$ là một tự đẳng cấu trong của F, thì tồn tại một tập con hữu hạn J của $\mathbf{N}$ sao cho hạn chế của $u$ lên $F_n$, với $n \notin J$, là đồng nhất. Suy ra rằng tồn tại một tập hợp không đếm được các tự đẳng cấu không trong của F.