Exercice 8, § 19

Soient $K_0$ un corps de caractéristique différente de $2, (X_n)_{n\geqslant 1}$ et $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ deux suites infinies d’indéterminées, K le corps des fractions rationnelles $K_0((X_n),(Y_n))$. Pour tout $n\geqslant 1$, on désigne par $F_n$ le corps de quaternions sur K de type $(X_n,0,Y_n)$.

a) Démontrer que le produit tensoriel $F =\bigotimes_nF_n$ (III, p. 42) est un corps de centre K, tel que tout sous-corps engendré par une partie finie soit de rang fini sur K (utiliser l’exerc. 7 a)).

b) Si $u$ est un automorphisme intérieur de F, démontrer qu’il existe une partie finie J de $\mathbf{N}$telle que la restriction de $u$ à $F_n$, pour $n \notin J$, soit l’identité ; en déduire qu’il existe un ensemble non dénombrable d’automorphismes non intérieurs de F.