Bài tập 12, § 2

Cho K là một trường giao hoán, E và F là các mở rộng của K, và A là vành $E\otimes_KF$.

a) Nếu E và F là các mở rộng siêu việt của K, thì vành A không địa phương.

b) Giả sử E là một mở rộng đại số của K, và ký hiệu các bao đóng tách được của K trong E và F, tương ứng, bởi $E_s$ và $F_s$. Các tính chất sau là tương đương:

(i) Vành A là địa phương.

(ii) Vành $E\otimes_KF_s$ là một miền nguyên.

(iii) Vành $E\otimes_KF_s$ là một trường.

(iv) Vành $E_s\otimes_KF_s$ là một trường.

Khi các điều này đúng, iđêan cực đại $\mathfrak{m}$ của A là tập hợp các phần tử lũy linh của A, và mọi mở rộng hợp thành của E và F đều đẳng cấu với $A/\mathfrak{m}$.