Exercice 12, § 2

Soient K un corps commutatif, E et F des extensions de K et A l’anneau $E\otimes_KF$.

a) Si E et F sont des extensions transcendantes de K, l’anneau A n’est pas un anneau local.

b) Supposons que E soit une extension algébrique de K et notons $E_s$ et $F_s$ les fermetures algébriques séparables de K dans E et F respectivement. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L’anneau A est local ;

(ii) L’anneau $E\otimes_KF_s$ est intègre ;

(iii) L’anneau $E\otimes_KF_s$ est un corps ;

(iv) L’anneau $E_s\otimes_KF_s$ est un corps.

Lorsqu’elles sont satisfaites, l’idéal maximal $\mathfrak{m}$ de A est l’ensemble des éléments nilpotents de A, et toute extension composée de E et F est isomorphe à $A/\mathfrak{m}$.