Bài tập 18, § 2

Cho A là một vành địa phương, E là một A-môđun tự do, và $x$ là một phần tử khác không của E. Cho $(e_i)_{i\in I}$ là một cơ sở của E sao cho số các tọa độ khác không của $x$ là nhỏ nhất có thể. Gọi $x=\sum a_ie_i$ là biểu diễn của $x$ trong cơ sở này; ký hiệu tập hợp các chỉ số $i\in I$ sao cho $a_i\not= 0$ bởi J.

a) Chứng minh rằng không một $a_i$ nào thuộc iđêan phải của A sinh bởi các phần tử khác. b) Cho F và G là các môđun con bù nhau của E sao cho $x\in F$; với $i\in I$, viết $e_i=f_i+g_i$ với $f_i\in F$ và $g_i\in G$. Chứng minh rằng họ gồm các $f_j$ với $j\in J$ và các $e_i$ với $i\in I$ - J là một cơ sở của E (nếu $g_j=\sum_{k\in I}b_{jk}e_k$, hãy nhận thấy rằng các tọa độ $b_{jk}$ với $j, k$ trong J thuộc iđêan cực đại của A, và áp dụng Bài tập 17 d)). Suy ra rằng tồn tại một môđun con tự do của F chứa $x$ và là một nhân tử trực tiếp của F.

c) Chứng minh rằng mọi A-môđun xạ ảnh đều tự do (dùng định lý của Kaplansky (II, §2, p. 386, Bài tập 2) để rút gọn về trường hợp một môđun có một họ phần tử sinh đếm được, và áp dụng b)).