Exercice 18, § 2

Soient A un anneau local, E un A-module libre et $x$ un élément non nul de E. Soit $(e_i)_{i\in I}$ une base de E dans laquelle le nombre de coordonnées non nulles de $x$ est le plus petit possible. Soit $x=\sum a_ie_i$ l’écriture de $x$ dans cette base ; on désigne par J l’ensemble des indices $i\in I$ tels que $a_i\not= 0$.

a) Démontrer qu’aucun des $a_i$ n’appartient à l’idéal à droite de A engendré par les autres.

b) Soient F et G des sous-modules supplémentaires de E tels que $x\in F$; pour $i\in I$, écrivons $e_i=f_i+g_i$, avec $f_i\in F$ et $g_i\in G$. Prouver que la famille formée des $f_j$ pour $j\in J$ et des $e_i$ pour $i\in I$ - J est une base de E (si $g_j=\sum_{k\in I}b_{jk}e_k$, observer que les coordonnées $b_{jk}$ pour $j, k$ dans J appartiennent à l’idéal maximal de A, et appliquer l’exerc. 17 d)). En déduire qu’il existe un sous-module libre de F qui contient $x$ et qui est facteur direct de F.

c) Prouver que tout A-module projectif est libre (se ramener à l’aide du th. de Kaplansky (II, p. 183, exerc. 2) au cas d’un module admettant une famille dénombrable de générateurs, et appliquer b)).