Bài tập 4, § 2

Cho M là một A-môđun và $p$ và $q$ là hai phép chiếu của M.

a) Ta có $p(M)\subset q(M)$ khi và chỉ khi ta có $qp=p$; hạt nhân Ker($p$) được chứa trong Ker($q$) khi và chỉ khi ta có $qp=q$.

b) Tổng $p+q$ là một phép chiếu khi và chỉ khi ta có $pq=-qp$. Nếu $p+q$ là một phép chiếu và nếu trong M, quan hệ $2x= 0$ kéo theo $x= 0$, thì ta có $pq= 0$ và $qp= 0$.

c) Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Ta có $pq=qp$.

(ii) Ta có $q(p(M))\subset p(M)$ và $q$(Ker($p$))$\subset$ Ker($p$).

(iii) Tồn tại một dãy $(p_1, p_2, p_3, p_4)$ các phép chiếu trực giao từng đôi một của M sao cho $p=p_1+p_2,q=p_1+p_3$, và $1_M=p_1+p_2+p_3+p_4$.

Một dãy như vậy, khi tồn tại, là duy nhất: ta có $p_1=pq$.