Exercice 4, § 2

Soient M un A-module, $p$ et $q$ deux projecteurs de M.

a) Pour que $p(M)\subset q$(M), il faut et il suffit que l’on ait $qp=p$; pour que Ker($p$) soit contenu dans Ker($q$), il faut et il suffit que l’on ait $qp=q$.

b) Pour que $p+q$ soit un projecteur, il faut et il suffit que l’on ait $pq=-qp$. Si $p+q$ est un projecteur et si dans M la relation $2x= 0$ entraîne $x= 0$, on a $pq= 0$ et $qp= 0$.

c) Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) On a $pq=qp$;

(ii) On a $q(p(M))\subset p(M)$ et $q$(Ker($p$))$\subset$ Ker($p$);

(iii) Il existe une suite $(p_1, p_2, p_3, p_4)$ de projecteurs de M deux à deux orthogonaux telle que $p=p_1+p_2,q=p_1+p_3$ et $1_M=p_1+p_2+p_3+p_4$.

Une telle suite, lorsqu’elle existe, est unique : on a $p_1=pq$.