Bài tập 5, § 2

Cho A là một vành.

a) Một phần tử $e$ của A là lũy đẳng khi và chỉ khi ánh xạ $x\mapsto xe$ là một phép chiếu của A-môđun trái $A_s$ (tương ứng, ánh xạ $x\mapsto ex$ là một phép chiếu của A-môđun phải $A_d$).

b) Cho $e_1, e_2$ là các phần tử lũy đẳng trong vành A. Chứng minh rằng nhóm Hom$_A(Ae_1,Ae_2)$ đẳng cấu với $e_1A\cap Ae_2=e_1Ae_2$ và vành End$_A(Ae_1)$ đẳng cấu với vành $e_1Ae_1$.

c) Cho $e_1, e_2$ là các phần tử lũy đẳng trong A. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) $Ae_1= Ae_2$.

(ii) $e_1e_2=e_1$ và $e_2e_1=e_2$.

(iii) $(1-e_1)A = (1-e_2)A$.

Khi các điều kiện ấy được thỏa mãn, tồn tại một phần tử khả nghịch $a\in A$ sao cho $e_2=$ $ae_1a^{-1}$. d) Cho $e_1, e_2$ là hai phần tử lũy đẳng trong A. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

(i) Các A-môđun trái $Ae_1$ và $Ae_2$ đẳng cấu.

(ii) Các A-môđun phải $e_1A$ và $e_2A$ đẳng cấu.

(iii) Tồn tại các phần tử $x, y$ của A sao cho $xy=e_1$ và $yx=e_2$.

Khi các tính chất ấy được thỏa mãn, ta nói rằng $e_1$ và $e_2$ là các phần tử lũy đẳng tương đương.

e) Nếu các phần tử lũy đẳng trong A là tương đương và thuộc tâm của A, thì chúng bằng nhau.

f ) Cho $(e_i)_{i\in I}$ và $(f_i)_{i\in I}$ là các họ hữu hạn các phần tử lũy đẳng trong A sao cho $e_ie_j= 0$ và $f_if_j= 0$ với $i\in I,j\in I,i\not=j$ và sao cho $e_i$ tương đương với $f_i$ với mọi $i\in I$. Khi đó $e=\sum_{i\in I}e_i$ và $f=\sum_{i\in I}f_i$ là các phần tử lũy đẳng tương đương trong A.