Exercice 5, § 2

Soit A un anneau.

a) Pour qu’un élément $e$ de A soit idempotent, il faut et il suffit que l’application $x\rightarrow xe$ soit un projecteur du A-module à gauche $A_s$ (resp. que l’application $x\rightarrow ex$ soit un projecteur du A-module à gauche $A_d$).

b) Soient $e_1, e_2$ des éléments idempotents de l’anneau A. Démontrer que le groupe Hom$_A(Ae_1,Ae_2)$ est isomorphe à $e_1A\cap Ae_2=e_1Ae_2$ et que l’anneau End$_A(Ae_1)$ est isomorphe à l’anneau $e_1Ae_1$.

c) Soient $e_1, e_2$ des éléments idempotents de A. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $Ae_1= Ae_2$;

(ii) $e_1e_2=e_1$ et $e_2e_1=e_2$;

(iii) $(1-e_1)A = (1-e_2)A$.

Lorsqu’elles sont satisfaites, il existe un élément inversible $a\in A$ tel que $e_2=ae_1a^{-1}$.

d) Soient $e_1, e_2$ deux éléments idempotents de A. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Les A-modules à gauche $Ae_1$ et $Ae_2$ sont isomorphes ;

(ii) Les A-modules à droite $e_1A$ et $e_2A$ sont isomorphes ;

(iii) Il existe des éléments $x, y$ de A tels que $xy=e_1$ et $yx=e_2$.

Lorsqu’elles sont satisfaites, on dit que $e_1$ et $e_2$ sont des éléments idempotents équivalents.

e) Si des éléments idempotents de A sont équivalents et appartiennent au centre de A, ils sont égaux.

f ) Soient $(e_i)_{i\in I}$ et $(f_i)_{i\in I}$ des familles finies d’éléments idempotents de A, telles que $e_ie_j= 0$ et $f_if_j= 0$ pour $i\in I,j\in I,i\not=j$, et que $e_i$ soit équivalent à $f_i$ pour tout $i\in I$. Alors $e=\sum_{i\in I}e_i$ et $f=\sum_{i\in I}f_i$ sont des éléments idempotents équivalents de A.