Bài tập 6, § 2

Cho A là một vành và $u$ và $v$ là hai phần tử của A sao cho $uv= 1$ và $vu\not= 1$. Với $i\geqslant 1$ và $j\geqslant 1$, đặt $e_{ij}=v^{i-1}u^{j-1}-v^iu^j$.

a) Chứng minh rằng ta có $e_{ij}\not= 0$ và $e_{ij}e_{hk}=\delta_{jh}e_{ik}$ với $i, j, k, h$ là các số nguyên $\geqslant 1$.

b) Chứng minh rằng các iđêan trái $Ae_{ii}$ của A (với $i\geqslant 1$) là khác không, từng đôi một đẳng cấu như các A-môđun (dùng Bài tập 5 d)), và tổng của chúng là trực tiếp.

c) Chứng minh rằng ta có $u(v+e_{1i}) = 1$ với mọi $i\geqslant 1$ và $e_{1i}\not=e_{1j}$ với $i\geqslant 1,j\geqslant 1$, $i\not=j$.

d) Cho B là một vành có các tính chất tương đương của Bài tập 7 của VIII, p. 15, a). Suy ra từ trên rằng mọi phần tử khả nghịch trái hoặc phải của B đều khả nghịch.