Exercice 6, § 2

Soient A un anneau, $u$ et $v$ deux éléments de A tels que $uv= 1$ et $vu\not= 1$. Pour $i\geqslant 1$ et $j\geqslant 1$, on pose $e_{ij}=v^{i-1}u^{j-1}-v^iu^j$.

a) Démontrer que l’on a $e_{ij}\not= 0$ et $e_{ij}e_{hk}=\delta_{jh}e_{ik}$ pour $i, j, k$ entiers $\geqslant 1$.

b) Démontrer que les idéaux à gauche $Ae_{ii}$ de A (pour $i\geqslant 1$) sont non nuls, deux à deux isomorphes en tant que A-modules (utiliser l’exerc. 5 d)) et que leur somme est directe.

c) Prouver que l’on a $u(v+e_{1i}) = 1$ pour tout $i\geqslant 1$ et $e_{1i}\not=e_{1j}$ pour $i\geqslant 1,j\geqslant 1$, $i\not=j$.

d) Soit B un anneau satisfaisant aux conditions de l’exerc. 7 de VIII, p. 14 a). Déduire de ce qui précède que tout élément de B inversible à droite ou à gauche est inversible.