Bài tập 1, § 20

Cho K là một trường giao hoán. Cho A là đại số trên K có cơ sở gồm phần tử đơn vị và hai phần tử $e,f$ sao cho $e^2=e,ef=f$, và $f e=f^2= 0$. a) Chứng minh rằng các biểu diễn chính quy và đối chính quy của A không đẳng cấu (tính Tr$_{A/K}(e)$ và Tr$_{A^o/K}(e)$).

b) Chứng minh rằng biểu diễn chính quy chứa một biểu diễn con không đẳng cấu với bất kỳ biểu diễn con nào cũng như với bất kỳ biểu diễn thương nào của biểu diễn đối chính quy. Hơn nữa, tồn tại một biểu diễn đơn của A không đẳng cấu với một biểu diễn con của biểu diễn chính quy.