Exercice 1, § 20

Soit K un corps commutatif. Soit A la K-algèbre admettant une base formée de l’élément unité et de deux éléments $e,f$ tels que $e^2=e,ef=f,f e=f^2= 0$.

a) Démontrer que la représentation régulière et la représentation corégulière de A ne sont pas isomorphes (on pourra calculer Tr$_{A/K}(e)$ et Tr$_{A^o/K}(e)$).

b) Démontrer que la représentation régulière contient une sous-représentation qui n’est isomorphe ni à une sous-représentation, ni à une représentation quotient de la représentation corégulière. De plus il existe une représentation simple de A qui n’est pas isomorphe à une sous-représentation de la représentation régulière.