Bài tập 2, § 20

Cho A là một đại số trên K. Ta xem đối ngẫu $A^*$ của A như một A-môđun trái.

a) Ánh xạ $E\mapsto E'$ là một toàn ánh từ tập hợp các A-môđun con của $A^*$ lên tập hợp các iđêan phải của A. Khi E là một môđun con như vậy, trực giao của $E'$ trong $A^*$ là một môđun con của $A^*$ chứa E.

b) Chứng minh rằng trực giao trong A của đế của $A^*$ là căn của A.

c) Chứng minh rằng trực giao trong $A^*$ của đế của $A_d$ là căn của A-môđun $A^*$. Suy ra rằng $A^*$ là một A-môđun nửa đơn khi và chỉ khi vành A là nửa đơn.