Exercice 2, § 20

Soit A une K-algèbre. On considère le dual $A^*$ de A comme un A-module à gauche.

a) L’application $E\rightarrow E^{\bot}$ est une surjection de l’ensemble des sous-A-modules de $A^*$ sur l’ensemble des idéaux à droite de A. Si E est un tel sous-module, l’orthogonal de $E^{\bot}$ dans $A^*$ est un sous-module de $A^*$ contenant E.

b) Prouver que l’orthogonal dans A du socle de $A^*$ est le radical de A.

c) Prouver que l’orthogonal dans $A^*$ du socle de $A_d$ est le radical du A-module $A^*$. En déduire que pour que $A^*$ soit un A-module semi-simple, il faut et il suffit que l’anneau A soit semi-simple.