Bài tập 3, § 20

Cho A là một vành Artin và $\overline{A}$ là vành $A/\Re (A)$. Ta lấy một phân tích của A thành tổng trực tiếp của các iđêan không phân tích được $Ae_i(i\in I)$, trong đó các $e_i$ là những phần tử lũy đẳng trực giao (VIII, p. 179, Bài tập 6, d)). Ta ký hiệu bởi $I =\cup_{\alpha\in R}I_{\alpha}$ phân hoạch của I sao cho hai phần tử $i, j$ của I thuộc cùng một tập hợp $I_{\alpha}$ khi và chỉ khi các môđun $Ae_i$ và $Ae_j$ đẳng cấu. Các A-môđun $\bigoplus_{i\in I_{\alpha}}\overline{A}\overline{e}_i$ là các thành phần đẳng kiểu của A (VIII, p. 179, Bài tập 6, d) và 7, a))

a) Chứng minh rằng nếu vành A là tự nội xạ (VIII, p. 53, Bài tập 8), thì tồn tại một phép hoán vị $\sigma$ của R sao cho mọi iđêan phải $e_iA$, với $i\in I_{\alpha}$, đều chứa một iđêan phải tối tiểu duy nhất đẳng cấu với $\overline{e}_j\overline{A}$ đối với $j\in I_{\sigma(\alpha)}$ (chú ý rằng linh tử phải của một lũy đẳng $e$ là $(1-e)A$). Suy ra rằng đế trái $\mathfrak{s}$ của A được chứa trong đế phải $\mathfrak{t}$ của nó (chứng minh rằng mọi iđêan phải $e_i\mathfrak{s}$ đều là tối tiểu, bằng cách chứng minh rằng nó là linh hóa tử của một iđêan trái cực đại, xem VIII, p. 178, Bài tập 2). Kết luận rằng ta có $\mathfrak{s}=\mathfrak{t}$ và mọi iđêan trái $Ae_i$, với $i\in I_{\sigma(\alpha)}$, đều chứa một iđêan trái tối tiểu duy nhất đẳng cấu với $A\overline{e}_j$ với mọi $j\in I_{\alpha}$.

b) Ngược lại, nếu mỗi iđêan trái $Ae_i$ chứa một iđêan trái tối tiểu duy nhất và mỗi iđêan phải $e_iA$ chứa một iđêan phải tối tiểu duy nhất, thì vành A là tự nội xạ. (Dùng Bài tập 7 của VIII, p. 179 để chứng minh rằng mỗi chân của $\mathfrak{s}$ là một iđêan hai phía tối tiểu. Suy ra rằng $\mathfrak{t}$ chứa $\mathfrak{s}$, và rồi $\mathfrak{s}=\mathfrak{t}$. Cuối cùng, chứng minh rằng điều kiện $\beta$ ) của Bài tập 8 của VIII, p. 53 được thỏa mãn.)

c) Giả sử rằng A là một đại số bậc hữu hạn trên một trường giao hoán và là một vành tự nội xạ. Cho $\alpha \in R,i\in I_{\alpha}$, và $j\in I_{\sigma(\alpha)}$. Chứng minh rằng biểu diễn tuyến tính của A liên kết với A-môđun $Ae_j$ đẳng cấu với chuyển vị của biểu diễn tuyến tính của $A^o$ liên kết với A-môđun phải $e_iA$. (Cho $U_i$ là môđun con trái của $A^*$ là trực giao của $(1-e_i)A$. Suy ra từ Bài tập 7, d) của VIII, p. 179 rằng $U_i$ đẳng cấu với một môđun thương của $Ae_j$ và do đó ta có long $e_iA\leqslant$ long $e_jA$. Kết luận rằng các độ dài này bằng nhau, nên $U_i$ đẳng cấu với $Ae_j.)$ Hãy dùng b) và Bài tập 2, a) để chứng minh một mệnh đề đảo lại của mệnh đề này.