Exercice 3, § 20

Soient A un anneau artinien, $\overline{A}$ l’anneau $A/\Re (A)$. On se donne une décomposition de A en somme directe d’idéaux indécomposables $Ae_i(i\in I)$, où les $e_i$ sont des idempotents orthogonaux (VIII, p. 175, exerc. 6 d)). On note $I =\cup_{\alpha\in R}I_{\alpha}$ la partition de I telle que deux éléments $i, j$ de I appartiennent à un même ensemble $I_{\alpha}$ si et seulement si les modules $Ae_i$ et $Ae_j$ sont isomorphes ; les A-modules $\bigoplus_{i\in I_{\alpha}}\overline{A}\overline{e}_i$ sont les composants isotypiques de A (VIII, p. 175, exerc. 6 d) et 7 a))

a) Si l’anneau A est auto-injectif (VIII, p. 49, exerc. 8), démontrer qu’il existe une permutation $\sigma$ de R telle que tout idéal à droite $e_iA$, pour $i\in I_{\alpha}$, contienne un unique idéal à droite minimal isomorphe à $\overline{e}_j\overline{A}$ pour $j\in I_{\sigma(\alpha)}$ (observer que l’annulateur à droite d’un élément idempotent $e$ est $(1-e)A$). En déduire que le socle gauche $\mathfrak{s}$ de A est contenu dans son socle droit $\mathfrak{t}$ (démontrer que chacun des idéaux à droite $e_i\mathfrak{s}$ est minimal, en prouvant qu’il est l’annulateur d’un idéal à gauche maximal, cf. VIII, p. 174, exerc. 2). Conclure qu’on a $\mathfrak{s}=\mathfrak{t}$ et que tout idéal à gauche $Ae_i$, pour $i\in I_{\sigma(\alpha)}$, contient un unique idéal à gauche minimal isomorphe à $A\overline{e}_j$ quel que soit $j\in I_{\alpha}$.

b) Réciproquement, si tout idéal à gauche $Ae_i$ contient un unique idéal à gauche minimal et que tout idéal à droite $e_iA$ contient un unique idéal à droite minimal, l’anneau A est auto-injectif (en utilisant l’exerc. 7 de VIII, p. 175, prouver que chaque pied de $\mathfrak{s}$ est un idéal bilatère minimal, et en déduire que $\mathfrak{t}$ contient $\mathfrak{s}$, puis que $\mathfrak{s}=\mathfrak{t}$; prouver enfin que la condition $\beta$ ) de l’exerc. 8 de VIII, p. 49 est satisfaite).

c) On suppose que A est une algèbre de degré fini sur un corps commutatif et un anneau auto-injectif. Soient $\alpha \in R,i\in I_{\alpha}$ et $j\in I_{\sigma(\alpha)}$; démontrer que la représentation linéaire de A associée au A-module $Ae_j$ est isomorphe à la transposée de la représentation linéaire de $A^o$ associée au A-module à droite $e_iA$ (soit $U_i$ le sous-module à gauche de $A^*$ orthogonal de $(1-e_i)A$; déduire de l’exerc. 7, d) de VIII, p. 175 que $U_i$ est isomorphe à un module quotient de $Ae_j$ et par suite qu’on a long $e_iA\leqslant$ long $e_jA$; en conclure que ces longueurs sont égales, donc que $U_i$ est isomorphe à $Ae_j)$. A l’aide de b) et de l’exerc. 2 a), prouver une réciproque de cet énoncé.