Bài tập 5, § 20

Cho K là một trường giao hoán và A là một đại số trên K. Ta trang bị cho $A^*$ cấu trúc môđun A trái chính tắc của nó. Với $t\in A^*$, ta ký hiệu bởi $\varphi_t$ ánh xạ $(x, y)\mapsto t(xy)$ từ $A\times A$ vào K.

a) Chứng minh rằng ánh xạ này xác định một đẳng cấu K-tuyến tính từ $A^*$ vào tập hợp các ánh xạ K-song tuyến tính $\varphi : A\times A\rightarrow K$ thỏa mãn $\varphi (xy, z) =\varphi (x, yz)$ với $x, y, z\in A$.

b) Ta nói rằng phần tử $t\in A^*$ là khả nghịch nếu đồng cấu $a\mapsto at$ từ A vào $A^*$ là song ánh. Cho A là một đại số trên K có bậc hữu hạn. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) A là Frobenius (Bài tập 4).

(ii) A thừa nhận một dạng tuyến tính khả nghịch.

(iii) A thừa nhận một dạng tuyến tính có hạt nhân không chứa bất kỳ iđêan trái nào của A.