Exercice 5, § 20

Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre. On munit $A^*$ de sa structure canonique de A-module à gauche. Pour $t\in A^*$, on note $\varphi_t$ l’application $(x, y)\rightarrow t(xy)$ de $A\times A$ dans K.

a) Démontrer qu’on définit ainsi un isomorphisme K-linéaire de $A^*$ sur l’ensemble des applications K-bilinéaires $\varphi : A\times A\rightarrow K$ satisfaisant à $\varphi (xy, z) =\varphi (x, yz)$ quels que soient $x, y, z$ dans A.

b) On dit que l’élément $t\in A^*$ est inversible si l’homomorphisme $a\rightarrow at$ de A dans $A^*$ est bijectif Soit A une K-algèbre de degré fini ; prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) A est frobeniusienne (exerc. 4) ;

(ii) A admet une forme linéaire inversible ;

(iii) A admet une forme linéaire dont le noyau ne contient aucun idéal à gauche de A.