Bài tập 11, § 21

Cho A và H là các nhóm con của G. Giả sử rằng A là giao hoán và chuẩn tắc, và rằng G là tích nửa trực tiếp của H và A. Nhóm H tác động trên $\widehat{A} =$ Hom(A$,K^*$); chọn một hệ các đại diện $(\alpha_i)_{i\in\widehat{A}/H}$ của các quỹ đạo của H trong $\widehat{A}$. Với $i\in \widehat{A}/H$, gọi $H_i$ là nhóm ổn định của $\alpha_i$ trong H, và đặt $G_i=$ AH$_i$. Với mọi biểu diễn bất khả quy $\sigma$ của $H_i$, định nghĩa một biểu diễn $\rho_{i,\sigma}$ của $G_i$ bằng cách đặt $\rho_{i,\sigma}(ah) =$ $\alpha_i(a)\sigma (h)$ với $a\in A$ và $h\in H$. Chứng minh rằng các biểu diễn Ind$^G_{G_i}(\rho_{i,\sigma})$, với $i\in \widehat{A}/H$ và $\sigma \in \widehat{H}_i$, là bất khả quy và đôi một không đẳng cấu, và rằng bằng cách này ta thu được mọi biểu diễn bất khả quy của G (áp dụng Bài tập 9).