Exercice 11, § 21

Soient A et H des sous-groupes de G ; on suppose que A est commutatif et distingué, et que G est produit semi-direct de H par A. Le groupe H opère sur $\widehat{A} =$ Hom(A$,K^*$); on choisit un système de représentants $(\alpha_i)_{i\in\widehat{A}/H}$ des orbites de H dans $\widehat{A}$. Pour $i\in$

$\widehat{A}/H$, soit $H_i$ le stabilisateur de $\alpha_i$ dans H, et soit $G_i=$ AH$_i$. Pour toute représentation irréductible $\sigma$ de $H_i$, on définit une représentation $\rho_{i,\sigma}$ de $G_i$ en posant $\rho_{i,\sigma}(ah) =\alpha_i(a)\rho (h)$ pour $a\in A$ et $h\in H$. Prouver que les représentations Ind$^G_{G_i}(\rho_{i,\sigma})$, pour $i\in \widehat{A}/H$ et $\sigma \in \widehat{H}_i$, sont irréductibles, deux à deux non isomorphes, et que l’on obtient ainsi toutes les représentations irréductibles de G (appliquer l’exerc. 9).