Bài tập 12, § 21

Cho H là một nhóm con của G; giả sử rằng với mọi $g\in G$- H, ta có đẳng thức $H\cap gHg^{-1}=\{1\}$.

a) Cho $u$ là một hàm trung tâm trên H. Hãy chứng minh rằng hàm Ind$^G_H(u)$ trùng với $u$ trên H $-\{1\}$. Nếu $v$ là một hàm trung tâm khác trên H sao cho $v(1) = 0$, thì ta có $\langle$Ind$^G_H(u)$, Ind$^G_H(v)\rangle_G=\langle u, v\rangle_H$.

b) Cho $\lambda \in \widehat{H}$; ta ký hiệu bởi $\chi '_{\lambda}$ hàm $\chi_{\lambda}-d_{\lambda}$ trên H và bởi $\theta_{\lambda}$ hàm $d_{\lambda}+$ Ind$^G_H(\chi '_{\lambda})$ trên G. Hãy chứng minh rằng $\theta_{\lambda}$ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy của G bậc $d_{\lambda}$ mà hạn chế của nó lên H đẳng cấu với $\lambda$ (dùng a) để tính $\langle \theta_{\lambda}, \theta_{\lambda}\rangle ,\langle \theta_{\lambda},1\rangle$, và $\langle$Res$^G_H(\theta_{\lambda}), \chi_{\lambda}\rangle )$.

c) Đặt $\theta =\sum_{\lambda}d_{\lambda}\theta_{\lambda}$. Chứng minh rằng ta có $\theta (h) = 0$ nếu $h\in H-\{1\}$ và $\theta (g) =$ $\theta (1) =$ Card(H) nếu $g$ không thuộc bất kỳ liên hợp nào của H.

d) Gọi $L'$ là tập hợp các phần tử của G không thuộc bất kỳ liên hợp nào của H, và đặt $L = L'\cup \{1\}$. Chứng minh rằng L là một nhóm con chuẩn tắc của G (suy ra từ c) rằng L là hạt nhân của một biểu diễn có đặc trưng $\theta )$.

e) Chứng minh rằng G là tích nửa trực tiếp của H và L (tính cấp của L). f ) Cho $h\in H-\{1\}$. Chứng minh rằng tự đẳng cấu int($h$) hạn chế trên L không có điểm bất động nào khác 1. Suy ra rằng cấp của H chia Card(L) $-1$.

g) Chứng minh rằng nếu nhóm con H có cấp chẵn, thì L là giao hoán (áp dụng Bài tập 23, d) của I, §6, p. 145).