Exercice 12, § 21

Soit H un sous-groupe de G ; on suppose que pour tout $g\in G$ - H on a l’égalité $H\cap gHg^{-1}=\{1\}$.

a) Soit $u$ une fonction centrale sur H ; prouver que la fonction Ind$^G_H(u)$ coïncide avec $u$ sur H $-\{1\}$. Si $v$ est une autre fonction centrale sur H telle que $v(1) = 0$, on a $\langle$Ind$^G_H(u)$, Ind$^G_H(v)\rangle_G=\langle u, v\rangle_H$.

b) Soit $\lambda \in \widehat{H}$; on note $\chi '_{\lambda}$ la fonction $\chi_{\lambda}-d_{\lambda}$ sur H, et $\theta_{\lambda}$ la fonction $d_{\lambda}+$ Ind$^G_H(\chi '_{\lambda})$ sur G. Prouver que $\theta_{\lambda}$ est le caractère d’une représentation irréductible de G, de degré $d_{\lambda}$, dont la restriction à H est isomorphe à $\lambda$ (calculer à l’aide de a)$\langle \theta_{\lambda}, \theta_{\lambda}\rangle ,\langle \theta_{\lambda},1\rangle$ et $\langle$Res$^G_H(\theta_{\lambda}), \chi_{\lambda}\rangle )$.

c) On pose $\theta =\sum_{\lambda}d_{\lambda}\theta_{\lambda}$. Prouver qu’on a $\theta (h) = 0$ si $h\in H-\{1\}$, et $\theta (g) =$ $\theta (1) =$ Card(H) si $g$ n’appartient à aucun conjugué de H.

d) Soit $L'$ l’ensemble des éléments de G qui n’appartiennent à aucun conjugué de H, et $L = L'\cup \{1\}$. Prouver que L est un sous-groupe distingué de G (déduire de c) que L est le noyau d’une représentation de caractère $\theta )$.

e) Prouver que G est produit semi-direct de H par L (calculer l’ordre de L).

f ) Soit $h\in H-\{1\}$; prouver que l’automorphisme int($h$) restreint à L n’a pas d’autre point fixe que 1. En déduire que l’ordre de H divise Card(L) $-1$.

g) Si le sous-groupe H est d’ordre pair, prouver que L est commutatif (appliquer l’exerc. 23 d) de I, p. 138).