Bài tập 15, § 21

Giả sử rằng mọi biểu diễn của G đều là đơn thức; hãy chứng minh rằng G giải được. Lập luận bằng quy nạp theo cấp của G, ta có thể giả sử rằng mọi nhóm thương của G khác G đều giải được.

a) Nếu G chứa hai nhóm con chuẩn tắc không tầm thường cực tiểu phân biệt $H_1$ và $H_2$, thì G giải được (xét đồng cấu chính tắc từ G đến $G/H_1\times G/H_2$).

Từ nay trở đi giả sử G thừa nhận một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường cực tiểu duy nhất H.

b) Chứng minh rằng một biểu diễn của G là trung thành nếu phép hạn chế của nó lên H là không tầm thường. c) Cho $\pi$ là một biểu diễn trung thành có bậc cực tiểu; tồn tại các nhóm con $H_i$ của G và các biểu diễn $\sigma_i$ của $H_i$ có bậc 1 sao cho $\pi$ đẳng cấu với $\bigoplus$ Ind$^G_{H_i}(\sigma_i)$. Đặt $\pi_0=\bigoplus$ Ind$^G_{H_i}(\varepsilon_{H_i})$, trong đó $\varepsilon_{H_i}$ kí hiệu biểu diễn đơn vị. Chứng minh rằng hạt nhân của $\pi_0$ là giao hoán và không tầm thường (lưu ý rằng $\pi_0$ là bất khả quy); suy ra rằng G giải được.