Exercice 15, § 21

On suppose que toutes les représentations de G sont monomiales ; on se propose de prouver que G est résoluble. Raisonnant par récurrence sur l’ordre de G, on peut supposer que tout groupe quotient de G distinct de G est résoluble.

a) Si G contient deux sous-groupes distingués non triviaux minimaux distincts $H_1$ et $H_2$, il est résoluble (considérer l’homomorphisme canonique de G dans $G/H_1\times G/H_2$).

On suppose désormais que G admet un unique sous-groupe distingué non trivial minimal H.

b) Démontrer que toute représentation de G non triviale sur H est fidèle.

c) Soit $\pi$ une représentation fidèle de degré minimal ; il existe des sous-groupes $G_i$ de G et des représentations $\sigma_i$ de $H_i$, de degré 1, tels que $\pi$ soit isomorphe à $\bigoplus$ Ind$^G_{H_i}(\sigma_i)$. Soit $\pi_0=\bigoplus$ Ind$^G_{H_i}(\varepsilon_{H_i})$, où $\varepsilon_{H_i}$ désigne la représentation unité. Prouver que le noyau de $\pi_0$ est commutatif et non trivial (observer que $\pi_0$ est irréductible) ; en déduire que G est résoluble.