Bài tập 2, § 21

Cho A là một vành giao hoán và G là một nhóm.

a) Giả sử rằng đại số A[G] của nhóm G là một vành phẳng tuyệt đối (VIII, p. 171, Bài tập 27). Chứng minh rằng vành A là phẳng tuyệt đối. Cho H là một nhóm con của G thừa nhận một tập con sinh hữu hạn; chứng minh rằng iđêan trái $I_H$ của A[G] (VIII, p. 22, Bài tập 25) thừa nhận một iđêan phụ trợ trong A[G], và suy ra rằng H là hữu hạn (nhận xét rằng trong trường hợp đối, linh hóa tử của $I_H$ sẽ được rút gọn thành (0)).

b) Giữ giả thiết của a). Cho $g$ là một phần tử của G có cấp hữu hạn $n$. Chứng minh rằng $n1_A$ là khả nghịch trong A (cho $x$ là một phần tử của A sao cho $(1-e_g)x(1-e_g) = (1-e_g)$; xây dựng một phần tử $y$ của A sao cho $1-(1-e_g)x=y(1 +e_g+\cdots +e_{g^{n-1}})$). Suy ra rằng cấp của mọi nhóm con hữu hạn của G là khả nghịch trong A.

c) Giả sử rằng A là một vành phẳng tuyệt đối và mọi tập con hữu hạn của G sinh ra một nhóm con hữu hạn có lực lượng khả nghịch trong A. Chứng minh rằng vành A[G] là phẳng tuyệt đối (rút gọn về trường hợp G hữu hạn, và sử dụng Bài tập 1).