Exercice 2, § 21

Soient A un anneau commutatif et G un groupe.

a) On suppose que l’algèbre A[G] du groupe G est un anneau absolument plat (VIII, p. 166, exerc. 27). Prouver que l’anneau A est absolument plat. Soit H un sous-groupe de G admettant une partie génératrice finie ; démontrer que l’idéal à gauche $I_H$ de A[G] (VIII, p. 21, exerc. 25) admet un supplémentaire dans A[G] et en déduire que H est fini (observer que dans le cas contraire l’annulateur de $I_H$ serait réduit à (0)).

b) On conserve les hypothèse de a). Soit $g$ un élément de G, d’ordre $n$ fini ; prouver que $n1_A$ est inversible dans A (soit $x$ un élément de A tel que $(1-e_g)x(1-e_g) = (1-e_g)$; construire un élément $y$ de A tel que $1-(1-e_g)x=y(1 +e_g+\cdots +e_{g^{n-1}})$). En déduire que l’ordre de tout sous-groupe fini de G est inversible dans A.

c) On suppose que A est un anneau absolument plat et que toute partie finie de G engendre un sous-groupe fini, dont le cardinal est inversible dans A. Démontrer que l’anneau A[G] est absolument plat (se ramener au cas où G est fini et utiliser l’exerc. 1).