Bài tập 21, § 21

Cho $n\in \mathbf{N}$. Ký hiệu $\mathscr{D}_n$ là tập con của $\mathbf{N}^n$ gồm các phần tử $(p_1, . . . , p_n)$ sao cho $p_1\geqslant \cdots \geqslant p_n$; trang bị cho nó thứ tự từ điển. Với $\mathbf{p}\in \mathscr{D}_n$, ký hiệu $\mathbf{p}'$ là phần tử của $\mathscr{D}_n$ được xác định bởi $p'_i=p_i+n-i$. Cho $\mathbf{X}= (X_1, . . . ,X_n)$ là một dãy biến; đặt $\Delta (\mathbf{X}) =\prod_{i<j}(X_i-X_j)$.

a) Cho $P\in \mathbf{Z}[\mathbf{X}]$ là một đa thức phản đối xứng, nghĩa là một đa thức thỏa mãn quan hệ $P(X_{\sigma(1)}, . . . ,X_{\sigma(n)}) =\varepsilon (\sigma )P(X_1, . . . ,X_n)$ với mọi phần tử $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. Chứng minh rằng tồn tại một đa thức đối xứng $Q\in \mathbf{Z}[\mathbf{X}]$ sao cho P = ΔQ.

b) Với mọi $\mathbf{p}\in \mathscr{D}_n$, đặt $S_{\mathbf{p}}(\mathbf{X}) = \Delta (\mathbf{X})^{-1}$ det(X$^{p'_i}_j$)$_{1\leqslant i,j\leqslant n}$. Chứng minh rằng $S_{\mathbf{p}}$ là một đa thức đối xứng thuần nhất bậc $\sum p_i$ với các hệ số nguyên.

c) Nếu $\mathbf{q}= (q_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ là một phần tử của $\mathscr{D}_n$ và P là một phần tử của $\mathbf{Q}[\mathbf{X}]$, thì ta ký hiệu $[P]_{\mathbf{q}}$ là hệ số của $\mathbf{x}^{\mathbf{q}}$ trong P. Đặt $K_{\mathbf{p}\mathbf{q}}= [S_{\mathbf{p}}]_{\mathbf{q}}$. Chứng minh rằng ta có $K_{\mathbf{p}\mathbf{p}}= 1$ và $K_{\mathbf{p}\mathbf{q}}= 0$ với $\mathbf{q}>\mathbf{p}$ (khai triển đẳng thức det(X$_j^{p'_i}$) $= S_{\mathbf{p}}(\mathbf{X}) \Delta (\mathbf{X})$ theo thứ tự từ điển). Suy ra rằng các đa thức $S_p$ với $p \in \mathscr{D}_n$ tạo thành một cơ sở của $\mathbf{Z}$-môđun con của $\mathbf{Z}[\mathbf{X}]$ gồm các đa thức đối xứng.

d) Cho $\mathbf{Y} = (Y_1, \ldots, Y_n)$ là một dãy biến. Chứng minh đẳng thức của các chuỗi lũy thừa hình thức

(sử dụng đẳng thức $\det((1 - X_i Y_j)^{-1})_{1 \leq i, j \leq n} = \Delta(\mathbf{X}) \Delta(\mathbf{Y}) \prod_{1 \leq i, j \leq n} (1 - X_i Y_j)^{-1}$ (xem III, §8, p. 639, Bài tập 5) bằng cách tính vế trái sử dụng khai triển của $(1 - T)^{-1}$ như một chuỗi lũy thừa hình thức).

e) Cho $P \in \mathbf{Q}[\mathbf{X}]$ là một đa thức đối xứng. Với mỗi $p \in \mathscr{D}_n$, đặt $\omega_p(P) = [P \Delta]_{p'}$. Chứng minh đẳng thức $\omega_p(S_q) = \delta_{pq}$. Suy ra rằng với mọi $q \in \mathscr{D}_n$, ta có

f) Với $\alpha \in \mathbf{N}^n$, đặt $f^\alpha(\mathbf{X}) = \prod_{j=1}^n (\sum_i X_i^j)^{\alpha_j}$ và $c_\alpha = \prod_{j=1}^n \frac{1}{j^{\alpha_j} \alpha_j!}$. Chứng minh rằng ta có $\sum_{\alpha \in \mathbf{N}^n} c_\alpha \omega_p(f^\alpha) \omega_q(f^\alpha) = \delta_{pq}$ với $p, q$ trong $\mathscr{D}_n$ (nhận xét rằng ta có