Exercice 21, § 21

Soit $n\in \mathbf{N}$. On désigne par $\mathscr{D}_n$ le sous-ensemble de $\mathbf{N}^n$ formé des éléments $(p_1, . . . , p_n)$ tels que $p_1\geqslant \cdots \geqslant p_n$; on le munit de l’ordre lexicographique. Pour $\mathbf{p}\in \mathscr{D}_n$, on note $\mathbf{p}'$ l’élément de $\mathscr{D}_n$ défini par $p'_i=p_i+n-i$. Soit $\mathbf{X} = (X_1, . . . ,X_n)$ une suite d’indéterminées ; on pose $\Delta (\mathbf{X}) =\prod_{i<j}(X_i-X_j)$.

a) Soit $P\in \mathbf{Z}[\mathbf{X}]$ un polynôme antisymétrique, c’est-à-dire satisfaisant à la relation $P(X_{\sigma(1)}, . . . ,X_{\sigma(n)}) =\varepsilon (\sigma )P(X_1, . . . ,X_n)$ pour tout élément $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. Démontrer qu’il existe un polynôme symétrique $Q\in \mathbf{Z}[\mathbf{X}]$ tel que P = ΔQ.

b) Pour tout $\mathbf{p}\in \mathscr{D}_n$, on pose $S_{\mathbf{p}}(\mathbf{X}) = \Delta (\mathbf{X})^{-1}$ det(X$^{p'_i}_j$)$_{1\leqslant i,j\leqslant n}$. Démontrer que $S_{\mathbf{p}}$ est un polynôme symétrique homogène de degré $\sum p_i$, à coefficients entiers.

c) Si $q = (q_i)_{1 \leq i \leq n}$ est un élément de $\mathscr{D}_n$ et $P$ un élément de $\mathbf{Q}[\mathbf{X}]$, on note $[P]_q$ le coefficient de $x^q$ dans $P$. On pose $K_{pq} = [S_p]_q$. Prouver qu’on a $K_{pp} = 1$ et $K_{pq} = 0$ pour $q > p$ (développer l’égalité $\det(X_j^{p_j'}) = S_p(\mathbf{X}) \Delta(\mathbf{X})$ suivant l’ordre lexicographique). En déduire que les polynômes $S_p$ pour $p \in \mathscr{D}_n$ forment une base du sous-$\mathbf{Z}$-module de $\mathbf{Z}[\mathbf{X}]$ formé des polynômes symétriques.

d) Soit $\mathbf{Y} = (Y_1, \ldots, Y_n)$ une suite d’indéterminées. Prouver l’égalité entre séries formelles

(utiliser l’égalité $\det((1 - X_i Y_j)^{-1})_{1 \leq i, j \leq n} = \Delta(\mathbf{X}) \Delta(\mathbf{Y}) \prod_{1 \leq i, j \leq n} (1 - X_i Y_j)^{-1}$ (cf. III, p. 192, exerc. 5), en calculant le membre de gauche à l’aide du développement en série formelle de $(1 - T)^{-1}$).

e) Soit $P \in \mathbf{Q}[\mathbf{X}]$ un polynôme symétrique. Pour tout $p \in \mathscr{D}_n$, on pose $\omega_p(P) = [P \Delta]_{p'}$. Prouver l’égalité $\omega_p(S_q) = \delta_{pq}$. En déduire que pour tout $q \in \mathscr{D}_n$ on a $[P]_q = \sum_{p \in \mathscr{D}_n} K_{pq} \omega_p(P)$.

f) Pour $\alpha \in \mathbf{N}^n$, on pose $f^\alpha(\mathbf{X}) = \prod_{j=1}^n (\sum_i X_i^j)^{\alpha_j}$ et $c_\alpha = \prod_{j=1}^n \frac{1}{j^{\alpha_j} \alpha_j!}$. Démontrer qu’on a $\sum_{\alpha \in \mathbf{N}^n} c_\alpha \omega_p(f^\alpha) \omega_q(f^\alpha) = \delta_{pq}$ pour $p, q$ dans $\mathscr{D}_n$ (remarquer qu’on a