Bài tập 25, § 21

Xét biểu diễn $\pi_{\mathbf{n}}$ của $\mathfrak{S}_n$ liên kết với tác động của $\mathfrak{S}_n$ trên tập hợp $\mathbf{n}=[1, n]$ (Bài tập 6). Cho $k$ là một số nguyên dương và $\chi_k$ là đặc trưng của biểu diễn $\wedge^k\pi_{\mathbf{n}}$.

a) Cho $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. Chứng minh công thức $\chi_k(\sigma ) =\sum\varepsilon (\sigma |S)$, trong đó tổng được lấy trên tập hợp các tập con S của $\mathbf{n}$ có $k$ phần tử sao cho $\sigma (S) = S$.

b) Chứng minh rằng $\wedge^k\pi_{\mathbf{n}}$ là biểu diễn bất khả quy của $\mathfrak{S}_n$ liên kết với phần tử $(n-k,1, . . . ,1)$ của $\mathscr{S}_n$ (tính đặc trưng của biểu diễn này bằng cách dùng công thức Frobenius, nhận thấy rằng các hạng duy nhất của tổng

Δ($\mathbf{X}$)$f^{\boldsymbol{\alpha }}(\mathbf{X}) =\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\varepsilon (\sigma )X^{\sigma(n)-1}_1. . .X^{\sigma(1)-1}_nf^{\boldsymbol{\alpha }}(\mathbf{X})$

mà đối với chúng hệ số của $\mathbf{X}^{\mathbf{p}'}$ là khác không tương ứng với các hoán vị $\sigma$ thỏa mãn $\sigma (i)\leqslant i+ 1$ với mọi $i$ và $\sigma (i) =i$ với $1\leqslant i < n-k.)$