Exercice 25, § 21

On considère la représentation $\pi_{\mathbf{n}}$ de $\mathfrak{S}_n$ associée à l’opération de $\mathfrak{S}_n$ sur l’ensemble $\mathbf{n} =[1, n]$ (exerc. 6). Soient $k$ un entier positif, et $\chi_k$ le caractère de la représentation $\wedge^k\pi_{\mathbf{n}}$.

a) Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. Prouver la formule $\chi_k(\sigma ) =\sum\varepsilon (\sigma |S)$, la somme étant prise sur l’ensemble des parties S à $k$ éléments de $\mathbf{n}$telles que $\sigma (S) = S$.

b) Démontrer que $\wedge^k\pi_{\mathbf{n}}$ est la représentation irréductible de $\mathfrak{S}_n$ associée à l’élément $(n-k,1, . . . ,1)$ de $\mathscr{S}_n$ (calculer le caractère de cette représentation par la formule de Frobenius, en remarquant que les seuls termes de la somme

$\Delta (\mathbf{X})f^{\boldsymbol{\alpha }}(\mathbf{X}) =\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\varepsilon (\sigma )X^{\sigma(n)-1}_1. . .X^{\sigma(1)-1}_nf^{\boldsymbol{\alpha }}(\mathbf{X})$

pour lesquels le coefficient de $\mathbf{X}^{\mathbf{p}'}$ est non nul correspondent à des permutations $\sigma$ qui vérifient $\sigma (i)\leqslant i+ 1$ pour tout $i$ et $\sigma (i) =i$ pour $1\leqslant i < n-k.)$