Bài tập 5, § 21

Cho $(M, \pi )$ là một biểu diễn của G. a) Cho H là một nhóm con của G, S là một hệ đại diện trong G của các lớp kề trái (mod H), và N là một không gian con tuyến tính của M ổn định dưới H. Biểu diễn của G trong M đẳng cấu với biểu diễn cảm sinh bởi biểu diễn của H trong N khi và chỉ khi ta có $M =\bigoplus_{s\in S}sN$. b) Giả sử rằng M là tổng trực tiếp của một họ $(M_i)_{i\in I}$ các không gian con và rằng tồn tại một tác động bắc cầu của G trên I sao cho $\pi (g)(M_i)\subset M_{gi}$ với $g\in G,i\in I$. Cho $o\in I$, và cho $G_o$ là nhóm ổn định của nó trong G. Chứng minh rằng $\pi$ đẳng cấu với biểu diễn cảm sinh bởi biểu diễn của $G_o$ trong $M_o$. Nếu $\pi$ là bất khả quy, thì điều kiện rằng tác động của G trên I là bắc cầu được thỏa mãn tự động.